分形连分数几何（FCFG）框架下自然常数 e 的连分数与几何映射分析

作者：张苏杭（河南洛阳）

摘要

本文在分形连分数几何（FCFG）框架下，研究自然常数 e 的无限连分数结构及其对应的迭代几何映射特征。基于欧拉给出的 e 的经典规律性连分数展开，将其结构化部分商序列代入 FCFG 核心迭代算子

f(x)=\dfrac{1}{a+x}.

通过构造一维迭代函数系统（IFS），分析该有序递增序列所生成的层级几何骨架、迭代稳定性与拓扑标度行为。结果表明：相较于周期连分数与无序随机连分数，e 的准周期递进结构能够生成具有高度规则嵌套、平滑尺度演化的分形极限集。本文建立了 FCFG 对结构化非周期无理数的标准几何刻画范例，完善了连分数数论与分形几何的对应谱系。

关键词：分形连分数几何；自然常数 e；连分数部分商；迭代函数系统；几何拓扑映射

1. 引言

分形连分数几何（FCFG）建立了实数连分数展开与自相似分形结构的一一对应关系：任意实数的连分数部分商序列 \{a_i\}，通过迭代算子

f_i(x)=\dfrac{1}{a_i+x}

可逐级生成有限层级几何骨架，并收敛至唯一的分形极限集。

已有工作主要讨论周期连分数（二次代数数）对应的严格自相似分形结构。为完善 FCFG 的适用谱系，需要引入非周期但高度结构化的经典数论常数作为标准算例。

自然常数 e 的连分数展开具有全局有序、递推进化、非混沌的特殊结构，是数学中为数不多可精确写出整体递推规律的无理数序列。本文将 e 的连分数序列完整纳入 FCFG 迭代体系，分析其独有的动力学与拓扑特征。

2. 自然常数 e 的连分数代数结构

根据欧拉经典结论，自然常数的连分数展开为：

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots]

其部分商序列满足严格递推范式：

- 首项：a_0=2

- 后续按 (1,\,2k,\,1) 循环递进，k=1,2,3\cdots

该序列具有三个关键特征：

1. 非周期：不满足周期连分数条件，因此不属于二次代数数；

2. 强结构化：整体模式完全可预测、无混沌性；

3. 缓慢增长：增幅为线性增长，无跳跃、无发散爆炸。

在 FCFG 体系中，这意味着其对应的几何迭代规则具备有序层级演化的先天结构。

3. FCFG 框架下的几何映射构造

对任意连分数部分商序列 \{a_i\}，定义迭代映射族

\mathcal{F}=\{f_1,f_2,\dots,f_n\},\quad f_i(x)=\dfrac{1}{a_i+x}.

将 e 的有序序列逐阶代入，得到层级迭代规则：

- 第一层：a_1=2

- 第二层～第四层：1,2,1

- 第五层～第七层：1,4,1

- 第八层～第十层：1,6,1

- 依此类推

该迭代在正实数轴 \mathbb{R}^+ 上生成一维逐层嵌套几何骨架。

由于部分商序列遵循稳定递进范式，迭代压缩率随层级平滑变化，形成区别于混沌序列的有序多尺度自相似结构。

4. 拓扑与动力学特征分析

4.1 迭代稳定性与有界性

e 的部分商虽趋于无穷，但增长速率极低且均匀，使得每一级迭代的压缩变换扰动极小。

有限截断层级内，整体迭代轨道始终保持稳定、收敛、无振荡发散。

4.2 标度与维数特征

不同于周期连分数生成严格自相似分形，也不同于随机无序序列生成均匀 Cantor 粉尘：

e 的递进有序结构，使其迭代极限集的 Hausdorff 维数有望呈现独特的连续标度演化规律，具有层级差异性、有序嵌套性与渐进光滑性。

这是 FCFG 首次刻画准周期递进型无理数的几何形态，填补了周期结构与混沌无序结构之间的中间谱系。

5. 结论

本文将自然常数 e 的经典连分数结构正式纳入分形连分数几何（FCFG）体系，通过标准迭代算子构造了其对应的一维分形迭代极限集。

得到如下核心结论：

1. e 的连分数序列属于结构化非周期递进序列，在 FCFG 中生成稳定、有序、多层嵌套的特殊分形拓扑；

2. 其几何形态既区别于二次无理数的周期分形，也区别于无规则无理数的混沌分形，构成全新的中间标准范例；

3. 该算例进一步证明：一切实数的连分数展开，均可唯一对应一类专属的分形几何拓扑，验证了 FCFG 框架的普适性。

后续工作将精确计算该极限集的分形维数，并开展 e,\pi,\sqrt{2} 三类典型常数的 FCFG 拓扑对比研究。

参考文献

[1] Euler, L. De fractionibus continuis dissertatio, 1744.

[2] 张苏杭. 分形连分数几何（FCFG）核心基础与体系构建, 2026.