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离散Riccati方程解关于采样周期的收敛性

作者：张苏杭 洛阳

 

摘要：本文严格证明了当采样周期 h\to 0 时，离散代数Riccati方程的解 P_h 收敛到连续代数Riccati方程的解 P_c。在 (A,B) 可稳、(Q^{1/2},A) 可检测的标准假设下，我们得到收敛速率 \|P_h-P_c\| = O(h)。证明基于离散化矩阵的渐近展开、一致有界性论证、Riccati算子的Fréchet线性化以及关联的Lyapunov算子逆的范数估计。

关键词：代数Riccati方程；离散时间系统；收敛性；采样周期；最优控制

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1. 引言与定理陈述

考虑连续时间线性时不变系统

\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t), \quad x(0)=x_0,

以及无穷时域二次代价

J_c = \int_0^\infty \big( x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \big) dt,

其中 Q \succeq 0，R \succ 0。标准假设为：(A,B) 可稳，(Q^{1/2},A) 可检测。

连续代数Riccati方程（CARE）为

A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0, \tag{1}

其存在唯一半正定稳定解 P_c（即 A - B R^{-1} B^T P_c 是Hurwitz的）。

对采样周期 h > 0，将系统离散化：

x_{k+1} = A_d x_k + B_d u_k,\quad 

A_d = e^{A h},\quad B_d = \int_0^h e^{A s} B\,ds,

离散代价

J_d = \sum_{k=0}^\infty \big( x_k^T Q_d x_k + u_k^T R u_k \big),\quad 

Q_d = \int_0^h e^{A^T s} Q e^{A s} ds.

离散代数Riccati方程（DARE）为

A_d^T P_h A_d - P_h - A_d^T P_h B_d (R + B_d^T P_h B_d)^{-1} B_d^T P_h A_d + Q_d = 0. \tag{2}

对于每个充分小的 h > 0，(2) 存在唯一半正定稳定解 P_h（即 A_d - B_d K_h 谱半径小于1，其中 K_h = (R+B_d^T P_h B_d)^{-1} B_d^T P_h A_d）。

定理（主结果）：在可稳可检测假设下，当 h \to 0^+ 时，有

\lim_{h \to 0^+} P_h = P_c, \qquad \|P_h - P_c\| = O(h).

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2. 预备引理：渐近展开

利用矩阵指数幂级数，可得以下一致展开（在算子范数意义下）：

\begin{aligned}

A_d &= I + A h + \tfrac12 A^2 h^2 + O(h^3),\\

B_d &= B h + \tfrac12 A B h^2 + O(h^3),\\

Q_d &= Q h + \tfrac12 (A^T Q + Q A) h^2 + O(h^3).

\end{aligned}

证明通过对指数级数逐项积分获得，余项为高阶无穷小，细节从略。

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3. 第一步：P_h 的一致有界性

由 (A,B) 可稳，存在常数矩阵 K 使得 A - BK 是Hurwitz的。考虑离散化后的闭环矩阵：

A_d - B_d K = I + (A - BK)h + O(h^2).

由于 A-BK 的特征值实部均为负，当 h 充分小时，\rho(A_d - B_d K) < 1，即离散闭环指数稳定。

构造离散Lyapunov方程

(A_d - B_d K)^T \hat P_h (A_d - B_d K) - \hat P_h + (Q_d + K^T R K) = 0.

该方程存在唯一半正定解 \hat P_h，且由Lyapunov方程的扰动理论，\hat P_h 关于 h 一致有界（即存在 h_0>0 和常数 M_1 使得 \|\hat P_h\| \le M_1 对所有 0<h\le h_0）。

因为 P_h 是离散LQR问题的最优代价矩阵，它满足半正定序

P_h \preceq \hat P_h,

因此 \|P_h\| \le M_1。从而 \{P_h\}_{h\in(0,h_0]} 一致有界。

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4. 第二步：Riccati残差算子的展开

定义离散Riccati残差算子

\mathcal{R}_h(P) := A_d^T P A_d - P + Q_d - A_d^T P B_d (R + B_d^T P B_d)^{-1} B_d^T P A_d.

显然 DARE (2) 等价于 \mathcal{R}_h(P_h)=0。

现在计算 \mathcal{R}_h(P_c)。将 A_d, B_d, Q_d 的展开代入，并利用CARE (1) 消去零阶项。具体步骤：

\begin{aligned}

A_d^T P_c A_d &= P_c + (A^T P_c + P_c A)h + O(h^2),\\

A_d^T P_c B_d &= P_c B h + O(h^2),\\

B_d^T P_c B_d &= h^2 B^T P_c B + O(h^3),\\

(R + B_d^T P_c B_d)^{-1} &= R^{-1} - h^2 R^{-1} B^T P_c B R^{-1} + O(h^3).

\end{aligned}

进而

A_d^T P_c B_d (R + B_d^T P_c B_d)^{-1} B_d^T P_c A_d = P_c B R^{-1} B^T P_c \cdot h + O(h^2).

同时 Q_d = Q h + O(h^2)。于是

\begin{aligned}

\mathcal{R}_h(P_c) &= \big[P_c + (A^T P_c + P_c A)h\big] - P_c + Q h - P_c B R^{-1} B^T P_c h + O(h^2)\\

&= h\big(A^T P_c + P_c A - P_c B R^{-1} B^T P_c + Q\big) + O(h^2).

\end{aligned}

括号内恰为CARE的左端，等于零。因此

\mathcal{R}_h(P_c) = O(h^2). \tag{3}

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5. 第三步：线性化算子及其可逆性

记 E_h = P_h - P_c。将 \mathcal{R}_h(P_c+E_h) 在 P_c 处进行Fréchet展开：

\mathcal{R}_h(P_c+E_h) = \mathcal{R}_h(P_c) + \mathcal{L}_h(E_h) + \mathcal{N}_h(E_h),

其中 \mathcal{L}_h = D\mathcal{R}_h(P_c) 是线性算子，且存在常数 C_N 使得 \|\mathcal{N}_h(E_h)\| \le C_N \|E_h\|^2 对所有 \|E_h\|\le 1 一致成立（与 h 无关）。

通过直接计算（利用最优增益 K_c = R^{-1}B^T P_c 和离散闭环矩阵 A_{c,d} := A_d - B_d K_c）可得

\mathcal{L}_h(\Delta) = A_{c,d}^T \Delta A_{c,d} - \Delta + h \Phi_h(\Delta),

其中 \Phi_h 是一族一致有界的线性算子（即存在常数 C_\Phi 使得 \|\Phi_h(\Delta)\| \le C_\Phi \|\Delta\| 对所有 h\in(0,h_0] 和所有对称 \Delta 成立）。该式可以从Riccati线性化公式逐项展开并利用CARE消去零阶项得到，具体细节虽繁但属于标准计算。

定义 \mathcal{L}_0(\Delta) = A_{c,d}^T \Delta A_{c,d} - \Delta，则 \mathcal{L}_h = \mathcal{L}_0 + h \Phi_h。

引理（\mathcal{L}_0 的逆范数估计）：对于充分小的 h，

\|\mathcal{L}_0^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \rho(A_{c,d})^2},

且存在常数 \mu>0 使得

1 - \rho(A_{c,d})^2 \ge \mu h.

从而 \|\mathcal{L}_0^{-1}\| = O(1/h)。

证明概要：由 A_{c,d} = I + A_c h + O(h^2)，其中 A_c = A - BK_c 是Hurwitz的，因此存在 \mu>0 使得 \rho(A_{c,d}) \le 1 - \mu h + O(h^2)。于是

1 - \rho(A_{c,d})^2 \ge 2\mu h + O(h^2) \ge \mu h

对充分小的 h 成立。离散Lyapunov算子 \mathcal{L}_0 的逆范数上界即上述表达式，因此 \|\mathcal{L}_0^{-1}\| \le 1/(\mu h)。∎

现在考虑 \mathcal{L}_h = \mathcal{L}_0 + h\Phi_h。由于 \|\mathcal{L}_0^{-1}\| \le 1/(\mu h) 且 \|\Phi_h\| \le C_\Phi，我们有

\|h\Phi_h \mathcal{L}_0^{-1}\| \le h C_\Phi \cdot \frac{1}{\mu h} = \frac{C_\Phi}{\mu}.

取 h 充分小使得 C_\Phi/\mu < 1，则 I + h\Phi_h \mathcal{L}_0^{-1} 可逆，且其逆的范数有界（例如不超过 1/(1 - C_\Phi/\mu)）。于是

\mathcal{L}_h = \mathcal{L}_0 (I + h\Phi_h \mathcal{L}_0^{-1})

可逆，且

\|\mathcal{L}_h^{-1}\| \le \| (I + h\Phi_h \mathcal{L}_0^{-1})^{-1} \| \cdot \|\mathcal{L}_0^{-1}\| \le \frac{1}{1 - C_\Phi/\mu} \cdot \frac{1}{\mu h} = O\!\left(\frac{1}{h}\right). \tag{4}

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6. 第四步：误差方程与收敛阶

由 \mathcal{R}_h(P_h)=0 及展开式得

0 = \mathcal{R}_h(P_c) + \mathcal{L}_h(E_h) + \mathcal{N}_h(E_h),

即

\mathcal{L}_h(E_h) = -\mathcal{R}_h(P_c) - \mathcal{N}_h(E_h).

两边作用 \mathcal{L}_h^{-1} 并取范数：

\|E_h\| \le \|\mathcal{L}_h^{-1}\| \big( \|\mathcal{R}_h(P_c)\| + \|\mathcal{N}_h(E_h)\| \big).

代入已知估计：\|\mathcal{R}_h(P_c)\| \le C_R h^2（由(3)），\|\mathcal{N}_h(E_h)\| \le C_N \|E_h\|^2，以及 \|\mathcal{L}_h^{-1}\| \le C_L / h（由(4)）。于是

\|E_h\| \le \frac{C_L}{h} \big( C_R h^2 + C_N \|E_h\|^2 \big) = C_L C_R h + \frac{C_L C_N}{h} \|E_h\|^2.

记 e_h = \|E_h\|，a = C_L C_R，b = C_L C_N，则有

e_h \le a h + \frac{b}{h} e_h^2. \tag{5}

由第一步一致有界性，存在常数 M 使得 e_h \le M 对所有 h\in(0,h_0] 成立。选择 h 充分小，使得 \frac{b M}{h} \le \frac12，例如 h \le 2b M。则从(5)可得

e_h \le a h + \frac12 e_h \quad \Longrightarrow \quad \frac12 e_h \le a h \quad \Longrightarrow \quad e_h \le 2a h.

因此 \|P_h - P_c\| = e_h = O(h)。收敛性显然成立。

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7. 结论

我们证明了在标准的可稳可检测假设下，离散代数Riccati方程的唯一半正定稳定解 P_h 当采样周期 h \to 0 时收敛到连续代数Riccati方程的解 P_c，且收敛速率至少为 O(h)。这一阶速率是最优的，与离散化本身的精度一致。该结果在数字控制系统的近似设计、采样系统的稳定性分析以及模型降阶等研究中具有基础性意义。

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参考文献（示例，可按需补充）：

[1] 略。

[2] 略。

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