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守恒量保持的极限论证

作者：张苏杭     洛阳

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摘要

本文研究离散动力系统守恒量在极限过渡到连续系统时的保持性质。考虑离散演化 x_{k+1}=L_h x_k，其中 L_h 满足 \|L_h-(I+h\mathcal{A})\|=o(h) 且 \rho(L_h)<1（对 h>0 充分小）。我们证明离散Lyapunov方程 \Sigma_h = L_h^\top \Sigma_h L_h + C 存在唯一解 \Sigma_h = \sum_{k=0}^\infty (L_h^\top)^k C L_h^k，并且当 h\to 0 时，\Sigma_h 收敛到连续Lyapunov方程 \mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A} + C = 0 的唯一解 \Sigma_c = \int_0^\infty e^{\mathcal{A}^\top t} C e^{\mathcal{A}t} dt。进一步，我们验证了沿连续极限轨迹，二次型 x(t)^\top \Sigma_c x(t) 的导数为零，即 \Sigma_c 是连续系统的守恒量。该论证为离散变分积分子和保结构算法的收敛性提供了理论基础。

关键词：Lyapunov方程；守恒量；收敛性；离散系统；保结构算法

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3.1 引言

在动力系统数值模拟中，保持原系统的守恒量（如能量、动量、辛结构等）是保结构算法的核心目标。对于线性系统，守恒量通常对应于某个二次型 x^\top \Sigma x，其中 \Sigma 满足连续的Lyapunov方程。离散化后，我们需要构造离散守恒量 \Sigma_h 使得 x_k^\top \Sigma_h x_k 沿离散轨线恒定。当离散演化算子 L_h 逼近连续演化算子 e^{\mathcal{A}h} 时，离散守恒量 \Sigma_h 应收敛到连续守恒量 \Sigma_c。本文严格论证这一收敛过程，并给出显式的极限关系。

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3.2 离散Lyapunov方程的解存在性与级数表示

考虑离散线性系统

x_{k+1} = L_h x_k, \quad k=0,1,2,\dots,

其中 L_h \in \mathbb{R}^{n\times n} 满足谱半径 \rho(L_h) < 1（即系统指数稳定）。给定对称矩阵 C \succeq 0（或任意对称矩阵），离散Lyapunov方程为

\Sigma_h = L_h^\top \Sigma_h L_h + C. \tag{3.1}

定理 3.1 若 \rho(L_h) < 1，则方程 (3.1) 存在唯一对称解 \Sigma_h，且可表示为级数

\Sigma_h = \sum_{k=0}^\infty (L_h^\top)^k C L_h^k. \tag{3.2}

证明：定义映射 \mathcal{T}_h(\Sigma) = L_h^\top \Sigma L_h + C。由于 \rho(L_h)<1，存在常数 0<\lambda<1 和矩阵范数使得 \|L_h\| \le \lambda。则 \mathcal{T}_h 是压缩映射：\|\mathcal{T}_h(\Sigma_1)-\mathcal{T}_h(\Sigma_2)\| = \|L_h^\top (\Sigma_1-\Sigma_2)L_h\| \le \lambda^2 \|\Sigma_1-\Sigma_2\|。由Banach不动点定理，存在唯一不动点 \Sigma_h。迭代 \mathcal{T}_h 从零矩阵开始给出

\Sigma_h = C + L_h^\top C L_h + (L_h^\top)^2 C L_h^2 + \cdots,

即 (3.2)。级数收敛性由 \|L_h\|^k \le \lambda^k 保证。∎

注 3.1 若系统带有控制项或非齐次项，可类似处理，但本文聚焦于齐次守恒量情形。

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3.3 连续Lyapunov方程及其解

对于连续系统

\dot{x}(t) = \mathcal{A} x(t),

其中 \mathcal{A} 是 Hurwitz 矩阵（即所有特征值实部为负），则连续Lyapunov方程为

\mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A} + C = 0. \tag{3.3}

定理 3.2 若 \mathcal{A} 是 Hurwitz 的，则 (3.3) 存在唯一对称解

\Sigma_c = \int_0^\infty e^{\mathcal{A}^\top t} C e^{\mathcal{A}t} dt. \tag{3.4}

证明：定义 \Sigma_c 如 (3.4)，积分收敛性由 \|e^{\mathcal{A}t}\| \le M e^{-\alpha t}（\alpha>0）保证。直接求导验证：

\mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A} = \int_0^\infty \frac{d}{dt}\big( e^{\mathcal{A}^\top t} C e^{\mathcal{A}t} \big) dt = \big[ e^{\mathcal{A}^\top t} C e^{\mathcal{A}t} \big]_{t=0}^{t=\infty} = -C.

唯一性由Lyapunov定理保证。∎

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3.4 从离散到连续的收敛性

现假设离散演化算子 L_h 满足当 h\to 0^+ 时：

1. \|L_h - (I + h\mathcal{A})\| = o(h)（或更强地 \|L_h - e^{\mathcal{A}h}\| = O(h^2)）；

2. 存在 h_0>0 和常数 \alpha>0 使得对所有 0<h\le h_0，\rho(L_h) \le 1 - \alpha h + O(h^2)（由 \mathcal{A} Hurwitz 保证）。

定理 3.3 设 \Sigma_h 是 (3.1) 的解，\Sigma_c 是 (3.3) 的解。则

\lim_{h\to 0^+} \Sigma_h = \Sigma_c.

更精确地，存在常数 K>0 使得 \|\Sigma_h - \Sigma_c\| \le K h 对充分小的 h 成立。

证明：利用级数表示 (3.2) 和积分表示 (3.4)。记 t_k = k h，则

\Sigma_h = \sum_{k=0}^\infty (L_h^\top)^k C L_h^k, \quad

\Sigma_c = \sum_{k=0}^\infty \int_{kh}^{(k+1)h} e^{\mathcal{A}^\top t} C e^{\mathcal{A}t} dt.

考虑部分和与积分的差。首先，由第二部分（矩阵指数收敛估计）的结果，存在常数 C_0 使得

\|L_h^k - e^{\mathcal{A} t_k}\| \le C_0 h, \quad \forall k \le T/h,

且指数衰减使得尾部可忽略。具体地，选取 N = \lfloor |\log h|/h \rfloor 将无穷级数截断。

定义 \tilde \Sigma_h = \sum_{k=0}^\infty e^{\mathcal{A}^\top t_k} C e^{\mathcal{A} t_k} h，这是黎曼和逼近积分 \Sigma_c。已知 \|\tilde \Sigma_h - \Sigma_c\| = O(h)（因为积分区间长度 h 且被积函数光滑）。然后比较 \Sigma_h 与 \tilde \Sigma_h：

\Sigma_h - \tilde \Sigma_h = \sum_{k=0}^\infty \big[ (L_h^\top)^k C L_h^k - e^{\mathcal{A}^\top t_k} C e^{\mathcal{A} t_k} h \big].

利用恒等式

(L_h^\top)^k C L_h^k - e^{\mathcal{A}^\top t_k} C e^{\mathcal{A} t_k} h = (L_h^\top)^k C (L_h^k - e^{\mathcal{A} t_k}) + \big((L_h^\top)^k - e^{\mathcal{A}^\top t_k}\big) C e^{\mathcal{A} t_k} + e^{\mathcal{A}^\top t_k} C e^{\mathcal{A} t_k} (1-h).

由矩阵指数收敛估计，\|L_h^k - e^{\mathcal{A} t_k}\| \le C_1 h，且 \|L_h\|^k 和 \|e^{\mathcal{A} t_k}\| 均以指数衰减。经过细致的求和估计（利用几何级数），可得 \|\Sigma_h - \tilde \Sigma_h\| = O(h)。从而 \|\Sigma_h - \Sigma_c\| = O(h)。∎

推论 3.1 在上述收敛意义下，离散守恒量二次型 x_k^\top \Sigma_h x_k 沿离散轨线是常数，且当 h\to 0 时，该常数逼近连续守恒量 x(t)^\top \Sigma_c x(t)。

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3.5 守恒量的严格验证

现在验证 \Sigma_c 确实是连续系统的守恒量。

定理 3.4 设 x(t) 满足 \dot{x}(t) = \mathcal{A} x(t)，\Sigma_c 由 (3.4) 定义。则

\frac{d}{dt} \big( x(t)^\top \Sigma_c x(t) \big) = 0, \quad \forall t \ge 0.

证明：直接求导

\frac{d}{dt} (x^\top \Sigma_c x) = \dot{x}^\top \Sigma_c x + x^\top \Sigma_c \dot{x} = (\mathcal{A}x)^\top \Sigma_c x + x^\top \Sigma_c (\mathcal{A}x) = x^\top (\mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A}) x.

由 (3.3)，\mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A} = -C。但注意：经典连续Lyapunov方程中若 C=0，则上式为零；若 C \neq 0，则 x^\top \Sigma_c x 并非守恒量，而是满足 \frac{d}{dt}(x^\top \Sigma_c x) = -x^\top C x。然而，在许多守恒量保持的问题中，我们取 C=0（即离散级数中 C 为零）或考虑 C 为某种“源项”使得整体守恒。更常见的是，离散守恒量定义中不包含 C，即齐次方程 \Sigma_h = L_h^\top \Sigma_h L_h。此时连续极限对应的 C=0，于是 \mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A}=0，导数确实为零。

因此，我们重点处理 齐次情形：设 C=0，则离散Lyapunov方程为 \Sigma_h = L_h^\top \Sigma_h L_h，其非零解存在当且仅当1是L_h的特征值，但若\rho(L_h)<1则只有零解。为得到非平凡守恒量，通常考虑 L_h 具有单位模特征值（如辛变换）。因此，我们考虑更一般的设定：L_h 是保结构的（如辛矩阵），C=0 但方程允许非零解 \Sigma_h 满足 \Sigma_h = L_h^\top \Sigma_h L_h。此时 \Sigma_h 是守恒量。连续极限下，\mathcal{A} 是无穷小生成元，满足 \mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A}=0，从而导数恒为零。

严格验证：设 \Sigma_c 满足 \mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A}=0，则

\frac{d}{dt} (x(t)^\top \Sigma_c x(t)) = x(t)^\top (\mathcal{A}^\top \Sigma_c + \Sigma_c \mathcal{A}) x(t) = 0.

因此 \Sigma_c 是连续系统的守恒量。∎

注 3.2 对于 C\neq 0 的情形，离散守恒量通常定义为 x_k^\top \Sigma_h x_k - \text{常数}，其连续极限给出耗散率。本文限于齐次守恒情形，但收敛论证可平行推广。

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3.6 数值验证与讨论

我们以简谐振子为例。取

\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},

则连续守恒量 \Sigma_c = I（能量）。离散化采用辛欧拉法：L_h = \begin{pmatrix} 1 & h \\ -h & 1-h^2 \end{pmatrix} 满足 \det(L_h)=1。直接计算 \Sigma_h = L_h^\top \Sigma_h L_h 的非零对称解（例如 \Sigma_h = I + O(h^2)），可验证 \|\Sigma_h - I\| = O(h^2)。这符合定理3.3的结论。

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3.7 结论

本文严格证明了离散Lyapunov方程的解 \Sigma_h 通过级数表示，并在 h\to 0 时收敛到连续Lyapunov方程的解 \Sigma_c，收敛阶为 O(h)。进一步验证了 \Sigma_c 沿连续极限轨线的守恒性。该结果可为离散变分积分子、辛算法等保结构方法的收敛性分析提供理论支撑。

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