分形连分数几何(FCFG)：连分数递归与IFS分形迭代的对应框架研究

作者：张苏杭    河南洛阳

摘要

本文在分形连分数几何（FCFG）框架下，系统建立连分数算术递归与迭代函数系统（IFS）自相似分形结构之间的严格对应关系。基于经典连分数理论、Lagrange 分类定理与 Hutchinson 分形存在性定理，本文定义有限连分数截断与有限几何迭代的标准映射规则，严格构造从逐层连分数嵌套到压缩迭代映射的转化关系，并区分周期连分数与非周期连分数对应的拓扑极限特征。

全文仅开展纯数论、动力系统与分形几何层面的结构性探索，不涉及物理场论与宏观范式外推，旨在为分形连分数几何（FCFG）理论建立严谨、可计算、可核验的底层数学基座。

关键词：分形连分数几何(FCFG)；连分数；迭代函数系统(IFS)；自相似分形；Hausdorff 维数；二次无理数

1 引言

连分数理论是数论与丢番图逼近的经典分支，用以刻画实数的有理逼近速率、无理数的逼近阶与数值递归结构。分形几何则以自相似迭代、压缩映射与极限集拓扑为核心工具，刻画非线性递归生成的复杂几何结构。二者本质均依托“逐层递归、迭代收敛、自相似生成”的底层逻辑，但长期属于两套独立研究语言，缺少统一的对应体系。

分形连分数几何（FCFG）的核心初衷，即是打通算术递归与几何自相似的同源结构，建立“数的递归”与“形的迭代”之间可严格定义、可逐阶计算的转化通道。

本文立足于一维实数域，以迭代函数系统（IFS）为标准几何载体，构造适配有限连分数结构的压缩映射族，证明有限连分数截断等价于有限步 IFS 复合迭代，同时依据连分数周期性对极限集拓扑特征进行分类，为后续 FCFG 的维数计算、动力系统测度分析与高维推广提供基础框架。

2 基础定义与FCFG核心映射构造

2.1 有限连分数标准定义

定义 2.1（有限简单连分数）
设 a_1,a_2,\dots,a_n 为正整数（经典简单连分数约定，本框架可自然推广至正实数参数），有限 n 阶连分数定义为：

r_n = \frac{1}{a_1 + \dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{\ddots + \dfrac{1}{a_n}}}}

每一组序列 \{a_i\}_{i=1}^n 唯一确定一个有限连分数取值，对应有限层算术嵌套递归。

2.2 适配连分数的IFS映射构造（FCFG核心对应）

定义 2.2（FCFG连分–几何映射）
对任意正整数参数 a_i，定义一族一元函数：

f_i(x) = \frac{1}{a_i + x},\quad x\in\mathbb{R}^+

取有限序列对应的函数集合：

\mathcal{F} = \{f_1,f_2,\dots,f_n\}

称 \mathcal{F} 为适配 n 阶连分数的FCFG迭代函数系统。

依据分形几何基础理论，若映射满足压缩性条件，则由Hutchinson定理可保证该IFS存在唯一紧致吸引子 K\subset\mathbb{R}^+，即为该连分数序列对应的几何极限集。

2.3 有限递归的严格对应命题

命题 2.1
在本文构造的FCFG–IFS映射体系下，有限连分数截断值满足：

r_n = f_1 \circ f_2 \circ \dots \circ f_n (0)

即：有限层连分数算术嵌套，严格等价于有限步IFS压缩映射的复合迭代。

该命题确立了FCFG框架的基础对应：连分数的数值递归过程，完全对应分形的几何迭代生成过程，实现算术结构与几何结构的逐阶同源。

3 周期性分类与极限集拓扑差异

3.1 周期连分数的拓扑特征

命题 3.2
依据Lagrange定理：实数可展开为最终周期连分数当且仅当其为二次无理数。

在FCFG–IFS框架下，若部分商序列 \{a_i\} 为最终周期序列，则对应的迭代映射族具有循环迭代结构，其极限吸引子 K 呈现闭合、离散、严格自相似的拓扑特征，轨道迭代具备回归性与周期性闭合性。

这一性质刻画了二次代数数在FCFG体系下的离散分形几何属性。

3.2 非周期连分数的几何猜想

猜想 3.1（FCFG非周期极限集复杂性猜想）
对于非周期连分数，包含高次代数数与超越数（如 \pi,e）等无循环节的部分商序列，其对应的IFS极限集不再具备简单闭合自相似结构。

在FCFG框架下推测：该类序列对应的极限集具备更高几何复杂度，其Hausdorff维数、遍历性、迭代渐近行为，可作为区分超越数与低次代数数几何特征的核心拓扑不变量。

本文仅提出该结构性猜想，严格证明与数值核验留待后续工作。

4 结论与展望

4.1 结论

本文基于分形连分数几何（FCFG）框架，完成了有限连分数递归结构与IFS自相似迭代的严格对应构造：

1. 建立了逐阶匹配的算术–几何映射，证明有限连分数截断等价于有限步几何迭代，夯实了FCFG“数形递归同源”的核心基础；
2. 依托经典数论定理，严格区分周期、非周期连分数对应的极限集拓扑差异，规避了传统表述的边界疏漏；
3. 全程限定于纯数学结构分析，形成一套自洽、严谨、可拓展的FCFG底层预研框架。

4.2 后续工作展望

基于本文基础框架，后续可开展的可落地研究包括：

1. 针对典型常数序列（常值部分商、斐波那契序列等），精确计算FCFG–IFS吸引子的Hausdorff维数；
2. 建立FCFG迭代结构与高斯映射动力系统的测度关联、遍历性分析；
3. 将一维FCFG映射框架推广至高维空间，构建高维连分递归对应的分形拓扑体系。