FCFG示范算例：周期连分数 [1,2] 及其交替分形骨架

作者：张苏杭 （河南洛阳）

摘要：

本文在分形连分数几何（FCFG）框架下，给出一个可复现的示范性算例。取周期系数序列 {a_k} = [1,2]，构造对应的有限阶递归分形骨架。按照 FCFG 的同构关系，每一级骨架的全局等效相似比由同阶有限连分数给出，无穷迭代的极限相似比为周期连分数的极限 \alpha = \sqrt{3}-1。文中详细给出逐级渐近分数、几何递归构造规则、点集可视化方案与盒计数维数的数值计算思路。对比传统分形几何视角：传统方法可以生成该点集并估计维数，但不会天然建立迭代层级与连分数渐近分数的一一对应；FCFG 以统一的递归生成序列，把算术侧的收敛振荡行为和几何侧的多尺度生长节奏绑定，体现数论递归与几何递归的同源性。本算例旨在展示 FCFG 范式的计算落地方式，并非宣称发现全新分形点集。

关键词：分形连分数几何；FCFG；周期连分数；交替自相似集；有限分形骨架；盒计数

1. 引言

FCFG 的核心主张是：有限阶自相似分形骨架的全局等效相似比，与同阶有限简单连分数的值相等；连分数是算术递归，分形骨架是几何递归，二者结构同源。

框架的说服力需要具体、可核验的算例支撑。本文选取最简单的二周期正整数序列 a_k \in {1,2}，完整走完从连分数求解、几何骨架构造、可视化到分形维数值估算的全部流程。

本文约定：F_n 代表 n 次递归得到的有限截断骨架，而不是无穷完备分形；r_n 是 n 阶有限连分数，代表该骨架的全局等效相似比；n \to \infty 只是极限拓展，公理本身建立在有限阶对象之上。

2. 连分数侧：周期序列 [1,2] 的渐近分数与极限

考虑周期连分数：

\alpha = \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}

它满足自洽方程：

\alpha = \frac{1}{1+\dfrac{1}{2+\alpha}}

整理可得：

\alpha = \frac{\alpha+2}{\alpha+3}, \quad \alpha^2+3\alpha = \alpha+2, \quad \alpha^2+2\alpha-2=0

取正根：

\alpha = \sqrt{3}-1 \approx 0.73205

逐级有限连分数（渐近分数）计算如下：

· n=1, a_1=1：r_1 = \frac{1}{1} = 1.0000· n=2, a_1=1, a_2=2：r_2 = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \approx 0.6667· n=3, a_1=1, a_2=2, a_3=1：r_3 = \frac{3}{4} = 0.7500· n=4, a_1=1, a_2=2, a_3=1, a_4=2：r_4 = \frac{8}{11} \approx 0.7273· n=5：r_5 = \frac{11}{15} \approx 0.7333· n=6：r_6 = \frac{30}{41} \approx 0.7317

序列在极限 \sqrt{3}-1 上下振荡收敛，这是周期连分数典型的动力学特征。在 FCFG 下，每一个 r_n 直接赋值为对应骨架 F_n 的全局等效相似比。

3. 几何侧：交替递归分形骨架的构造

种子 F_0：区间 [0,1] 上的单位线段。递归规则（一维串联型骨架）：

4. 当 a_k=1：取 1 份上一级骨架 F_{k-1}，缩放因子为 1，不改变几何形态；

5. 当 a_k=2：取 2 份上一级骨架 F_{k-1}，每份缩放至原来的 1/2，首尾串联拼接在区间 [0,1] 内。

生成序列按周期 [1,2] 循环：

· F_1：a_1=1，形态同 F_0；· F_2：a_2=2，两段 F_1 缩放 1/2 后串联；· F_3：a_3=1，形态同 F_2；· F_4：a_4=2，两段 F_3 缩放 1/2 后串联；· 以此类推。

几何特征：图形始终包裹在 [0,1] 之内；逢 a=2 加密，逢 a=1 保持形态。这属于间歇式加密的交替自相似集，不同于科赫曲线这类每一步都均匀拆分的经典分形。肉眼可以观察到点集逐步加密，但无法直接读出全局等效相似比与收敛极限。

6. 盒计数维数估算方案

该集合是交替自相似集，不存在简单的闭式 Hausdorff 维数，因此采用盒计数法做数值估计：

D = \lim_{\epsilon\to0}\frac{\log N(\epsilon)}{-\log\epsilon}

其中 N(\epsilon) 是覆盖全部点集所需边长为 \epsilon 的盒子数量。

数值实验步骤：

7. 递归生成高阶骨架 F_n（例如 n=8,10,12）；

8. 在多组尺度 \epsilon 下统计盒子数 N(\epsilon)；

9. 绘制 \log N(\epsilon) 与 \log(1/\epsilon) 的双对数图，线性拟合的斜率即为维数估计值。

注：传统自相似维数公式 \log N/\log s 在此不适用，因为缩放比例交替变化，不是固定单步缩放。

10. 对比：传统视角与 FCFG 视角

· 传统分形几何：可以写出递归规则、生成点集、绘图、盒计数估算维数。但是，迭代步骤本身不会天然对应一组连分数，不会把每一代的缩放特征表达为渐近分数，也不会把点集的加密节奏和连分数的振荡收敛联系起来。点集只是独立的几何对象。· FCFG 视角：同一个生成序列 {a_k} 同时驱动两条链——连分数算术递归与分形骨架几何递归。r_n 不仅是一个数，更是这一级骨架的定量标记；连分数的收敛性质，直接解释了分形生长的快慢与振荡节奏。FCFG 不是推翻传统分形工具，而是给这套几何对象增加了一条精确的数论索引。

11. 讨论与小结

本算例的几何点集本身可以在传统框架下构造，它的新意不在于发现新分形，而在于一套完整的联动映射：系数序列 \rightarrow 逐级有限连分数（全局等效相似比） \rightarrow 逐级分形骨架 \rightarrow 极限无理数对应无穷分形的极限相似比。

它是 FCFG 范式的一个可核验样本，也可以和 FCFG-N 递归电阻网络的递推结构相互呼应，体现数论、分形、网络拓扑共享同一类递归同源结构。

后续工作：

12. 完成高阶骨架的数值盒计数，给出精确的维数估计；

13. 尝试其他简单周期序列（如 [1,3], [2,2]），对比不同收敛行为与分形形态；

14. 将这套一维串联骨架拓展到二维平面的递归拼接。

附录：Python 绘图代码（生成周期 [1,2] 骨架）

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef fractal_iter(points, a): if a == 1: return points elif a == 2: seg = points / 2 return np.concatenate([seg, seg + 0.5])seq = [1, 2, 1, 2, 1, 2]pts = np.array([0, 1])for ak in seq: pts = fractal_iter(pts, ak)plt.figure(figsize=(8, 2))plt.plot(pts, np.zeros_like(pts), lw=0.7)plt.ylim(-0.1, 0.1)plt.title("FCFG skeleton, periodic sequence [1,2]")plt.axis("off")plt.show()